动态规划

矩阵

  • 不同路径

    难度：中等

    一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。 机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。 问总共有多少条不同的路径？
    示例 1：
    输入：m = 3, n = 7
    输出：28
    示例 2：
    输入：m = 3, n = 2
    输出：3
    解释：
    从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。

    1. 向右 -> 向下 -> 向下
    2. 向下 -> 向下 -> 向右
    3. 向下 -> 向右 -> 向下
      示例 3：
      输入：m = 7, n = 3
      输出：28
      示例 4：
      输入：m = 3, n = 3
      输出：6

  • 方法一

    1
    2
    3
    4
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    6
    7
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    12
    class Solution(object):
      def uniquePaths(self, m, n):
          """
          :type m: int
          :type n: int
          :rtype: int
          """
          f = [1] * n
          for i in range(1, m):
              for j in range(1, n):
                  f[j] += f[j - 1]
          return f[n - 1]

    解析
    我们用 f(i,j) 表示从左上角走到 (i,j) 的路径数量，其中 i 和 j 的范围分别是 [0,m) 和 [0,n)。 由于我们每一步只能从向下或者向右移动一步，因此要想走到 (i,j)，如果向下走一步，那么会从 (i−1,j) 走过来；如果向右走一步，那么会从 (i,j−1) 走过来。因此我们可以写出动态规划转移方程： f(i,j)=f(i−1,j)+f(i,j−1)需要注意的是，如果 i=0，那么 f(i−1,j) 并不是一个满足要求的状态，我们需要忽略这一项；同理，如果 j=0，那么 f(i,j−1) 并不是一个满足要求的状态，我们需要忽略这一项。 初始条件为 f(0,0)=1，即从左上角走到左上角有一种方法。 最终的答案即为 f(m−1,n−1)。
    复杂度分析
    时间复杂度：O(mn)。
    空间复杂度：O(mn)，即为存储所有状态需要的空间。注意到 f(i,j) 仅与第 i 行和第 i−1 行的状态有关，因此我们可以使用滚动数组代替代码中的二维数组，使空间复杂度降低为 O(n)。此外，由于我们交换行列的值并不会对答案产生影响，因此我们总可以通过交换 m 和 n 使得 m≤n，这样空间复杂度降低至 O(min(m,n))。